\section{Ejercicio N 6}

Una peluquería tiene un peluquero que realiza un corte de pelo especial a los clientes. Recientemente se ha contratado un aprendiz para que lo ayude, decidiendo que solo realice el corte cuando llega el segundo cliente a la cola de espera. Tanto el peluquero como el aprendiz demoran en promedio media hora cada uno para atender a cada cliente. Al local llegan en promedio 5 clientes por hora (distribución Poisson). Los clientes son impacientes. Si hay un cliente esperando, solamente el 50\% de los clientes que llegan deciden entrar a la peluquería. Si hay más de un cliente esperando, no entra ningún cliente más ya que no están dispuestos a esperar. Se pide calcular:

\begin{enumerate}
  \item La probabilidad de que no haya clientes en la peluquería.
  \item La probabilidad de que haya clientes esperando para recibir el servicio.
  \item El porcentaje de ocupación del peluquero y del aprendiz.
  \item La probabilidad de que no haya clientes en la peluquería.
  \item La cantidad promedio de clientes esperando para recibir el servicio.
  \item La cantidad promedio de clientes que no ingresan a la peluquería.
  \item Si cada corte de pelo cuesta 30\$, calcular el ingreso económico promedio de la peluquería, por hora.
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos

\begin{itemize}
  \item $\lambda = 5\; \,  {cliente \over hora}$ (distribución Poisson)
  \item $T_s = 0,5\; \, {horas \over clientes} \Rightarrow \mu = 2\; \, {cliente \over hora}$
  \item  $\rho = \frac{5}{2}$
\end{itemize}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $P(n=0)$
  \item $P(n>1)$
  \item Porcentaje: $ H_1\; \,  y\; \,  H_2$
  \item $L_{c}$
\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tiene distribución Poisson
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es infinita
  \item Se forma una única cola frente a los canales
  \item Los clientes presentan el fenómeno de impaciencia, pero una vez que ingresaron al sistema no lo pueden abandonar
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
\end{enumerate}

Es un P/P/2.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{ejercicio06}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 6. Tener en cuenta que el aprendiz atiende cuando hay más de una persona en la cola.}
  \end{center}
\end{figure}

\comandoResolucion
\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $P(n)$ & $\lambda_{n}$ & $\mu_{n}$ & $L$ & $L_c$ & $H$  & $R$           \\ \hline
0   & P(0)   & $\lambda$     &   0       &  0  &   0   &  0   &  0            \\
1   & P(1)   & $\lambda$     & $\mu$     &  1  &   0   &  1   &  0            \\
2   & P(2)   & $0.5*\lambda$ & $\mu$     &  2  &   1   &  1   & $0.5*\lambda$ \\
3   & P(3)   & $0.5*\lambda$ & 2*$\mu$   &  3  &   1   &  2   & $0.5*\lambda$ \\ 
4   & P(4)   &      0        & 2*$\mu$   &  4  &   2   &  2   & $\lambda$     \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]
\item 

$$ P(n) = \frac{\lambda_{n-1}*P(n-1)}{\mu_n} $$

$$ P(1) = \frac{\lambda_0*P(0)}{\mu_1} = \frac{\lambda*P(0)}{\mu} = \rho*P(0)$$
$$ P(2) = \frac{\lambda_1*P(1)}{\mu_2} = \frac{\lambda*P(1)}{\mu} = \rho*\rho*P(0) = \rho^2*P(0)$$
$$ P(3) = \frac{\lambda_2*P(2)}{\mu_3} = \frac{0.5*\lambda*P(2)}{2*\mu} = \frac{1}{4}*\rho*\rho^2*P(0) = \frac{1}{4}*\rho^3*P(0)$$
$$ P(4) = \frac{\lambda_3*P(3)}{\mu_4} = \frac{0.5*\lambda*P(3)}{2*\mu} = \frac{1}{4}\rho*\frac{1}{4}*\rho^3*P(0) = \frac{1}{16}*\rho^4*P(0)$$

$$ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 $$

$$ P(0) + \rho*P(0) + \rho^2*P(0) + \frac{1}{4}*\rho^3*P(0) + \frac{1}{16}*\rho^4*P(0) = 1$$

$$ P(0)\left(1 + \rho + \rho^2 + \frac{1}{4}*\rho^3* + \frac{1}{16}*\rho^4\right) = 1$$

$$ P(0) = \frac{1}{\left(1 + \rho + \rho^2 + \frac{1}{4}*\rho^3* + \frac{1}{16}*\rho^4\right)} $$

\newcommand{\variablePcero}{\frac{256}{4121}}

La probabilidad de que no no hay clientes en la peluquería es:

$$\boxed{P(0) = \variablePcero \approx 0,062 }$$

\item

La probabilidad de que haya un cliente esperando es:

$$ P(n>1) = 1 - P(0) - P(1) $$

$$ P(n>1) = 1 - P(0) - \rho*P(0) = 1 - \variablePcero - \frac{5}{2}*\variablePcero $$

$$ \boxed{P(n>1) = \frac{3225}{4121} \approx 0,782} $$


\item 
 El porcentaje de ocupación del peluquero y del aprendiz.
 
Ocupación del peluquero:

\[H_{1} = P(1)+P(2)+P(3)+P(4) = 1 - P(0) = \frac{3865}{4121} = 0,9378 \Rightarrow \boxed{H_{1} \% = 93,75 \%}   \]

Ocupación del aprendiz:

\[H_{2} = P(3)+P(4) = \frac{1625}{4121} = 0,3943 \Rightarrow \boxed{H_{2} \% = 39,43 \%}   \]


\item 

La cantidad promedio de clientes esperando para recibir el servicio.

\[L_{c} = P(2)+P(3)+2*P(4) = \frac{3850}{4121} \Rightarrow \boxed{L_{c} = 0,9342\;   \; \,  (cliente)}   \]


\item 

La cantidad promedio de clientes que no ingresan a la peluquería.

\[ \overline{R} = 0,5*\lambda*(P(2)+P(3))+\lambda*P(4) = \frac{9625}{4121} \Rightarrow \boxed{\overline{R} = 2,3355  \: \,  \frac{clientes}{hora}} \]

\item

Si cada corte de pelo cuesta 30\$, el ingreso económico promedio de la peluquería por hora será:

\[ \overline{\mu} = \mu*(P(1)+P(2)+2*P(3)+2*P(4) = \frac{10980}{4121} \Rightarrow{\overline{\mu} = 2,6644} \]

\[  \boxed{ I = 30 \: \,  \frac{\$}{hora}*\overline{\mu} = 79,93 \: \,  \frac{\$}{hora}     } \] 



\end{enumerate}
